phương pháp viết phương trình mặt phẳng

Bài viết phân dạng và hướng dẫn phương pháp viết phương trình mặt phẳng trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\).

Dạng toán 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) khi biết pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) và toạ độ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng.

Phương pháp: Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right)\) \( + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow Ax + By + Cz\) \( – A{x_0} – B{y_0} – C{z_0} = 0.\)

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và có pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {3;2;4} \right).\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(3\left( {x – 1} \right) + 2\left( {y – 2} \right)\) \( + 4\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 2y + 4z – 19 = 0.\)

Dạng toán 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(3\) điểm \(A,B,C\) cho trước không thẳng hàng.

Phương pháp:

+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \({\overrightarrow n _\alpha } = \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\)

+ \(A \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(3\) điểm \(A\left( {2; – 1;3} \right)\), \(B\left( {4;0;1} \right)\), \(C\left( { – 10;5;3} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;1; – 2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { – 12;6;0} \right).\)

\(⇒ \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]\) \( = \left( {12;24;24} \right)\) \( = 12\left( {1;2;2} \right)\), do đó chọn \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2;2} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)

Với \(A\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).\) Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y + 1} \right)\) \( + 2\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 2z – 6 = 0.\)

Dạng toán 3: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua một điểm và một số yếu tố khác.

• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d.\)

Phương pháp: Vector chỉ phương của đường thẳng \(d\) (ký hiệu \(\overrightarrow {{a_d}} \)) cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) (ký hiệu \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \)).

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) trong các trường hợp sau:

a. \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và vuông góc với \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}

x = 2t\\

y = – 3 + t\\

z = 2 – t

\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số).

b. \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(N\left( {2; – 1;3} \right)\) và vuông góc với \(d\): \(\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{1}.\)

c. \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(P\left( {0;1;2} \right)\) và vuông góc với trục \(Ox.\)

a. Vì \(\left( \alpha \right) ⊥ d\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;1; – 1} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)

\(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(2\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y – 2} \right)\) \( – 1\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y – z – 1 = 0.\)

b. Vì \(\left( \alpha \right) ⊥ d\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( { – 2;3;1} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)

\(N\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \( – 2\left( {x – 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right)\) \( + 1\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow – 2x + 3y + z + 4 = 0.\)

c. Do \(\left( \alpha \right) ⊥ Ox\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;0;0} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)

\(P\left( {0;1;2} \right) \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 0} \right) + 0\left( {y – 1} \right)\) \( + 0\left( {z – 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)

• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \((P).\)

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {2; – 1;3} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{ }}x + 2y – 3z + 1 = 0.\)

Vì \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; – 3} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)

\(M\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y + 1} \right)\) \( – 3\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y – 3z + 9 = 0.\)

• Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) song song với đường thẳng \(d\) và vuông góc với mặt phẳng \((P).\)

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\), trong đó: \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), \(\overrightarrow {{n_P}} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;3; – 1} \right)\), song song với đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}

x = 1 – 3t\\

y = 2t\\

z = 3 – t

\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\): \(x + y – z + 1 = 0.\)

Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( { – 3;2; – 1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; – 1} \right).\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}

\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\

\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)

\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) \( = \left( { – 1; – 4; – 5} \right)\)

\(M\left( {2;3; – 1} \right) \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \( – 1\left( {x – 2} \right) – 4\left( {y – 3} \right)\) \( – 5\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 4y + 5z – 9 = 0.\)

• Dạng 4:  Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q).\)

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{n_P}} \), \(\overrightarrow {{n_Q}} \)  lần lượt là vetor pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\), \((Q)\).

Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3; – 1; – 5} \right)\) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right):3x – 2y + 2{\rm{ }}z + 7 = 0\), \(\left( Q \right):5x – 4y + 3z + 1 = 0.\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; – 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {5; – 4;3} \right).\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}

\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)\\

\left( \alpha \right) \bot \left( Q \right)

\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\) \( = \left( {2;1; – 2} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α).\)

\(M\left( {3; – 1; – 5} \right) \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(2\left( {x – 3} \right) + 1\left( {y + 1} \right)\) \( – 2\left( {z + 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y – 2z – 15 = 0.\)

• Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) và song song với \(d\) và \(d’\).

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} \) lần lượt là vector chỉ phương của \(d\), \(d’\).

Ví dụ 7: Trong không gian hệ toạ độ \(Oxyz\) cho hai đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}

x = 1 + 2t\\

y = – 3t\\

z = 4 + t

\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số) và \(d’\): \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) đồng thời song song với \(d\) và \(d’.\)

Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; – 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( {1;2; – 1} \right).\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}

\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\

\left( \alpha \right){\rm{//}}d’

\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\) \( = \left( {1;3;7} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α).\)

\(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 2} \right)\) \( + 7\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 3y + 7z – 28 = 0.\)

• Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) và chứa \(d\) \(\left( {M \notin d} \right).\)

Phương pháp:

+ Lấy \(N \in d.\)

+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {MN} } \right]\), với \(\overrightarrow {{a_d}}\) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d.\)

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M(1;2;3)\) và chứa đường thẳng \(d\): \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.\)

Chọn \(N\left( {2; – 1;3} \right) \in d.\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;3;0} \right)\), \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 1} \right).\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}

M \in \left( \alpha \right)\\

d \subset \left( \alpha \right)

\end{array} \right.\) nên vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {MN} } \right]\) \( = \left( { – 3;1; – 1} \right).\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \( – 3\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y – 2} \right)\) \( – 1\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow – 3x + y – z + 4 = 0.\)

Dạng toán 4: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm và các yếu tố khác.

• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M,N\) và song song với đường thẳng \(d.\)

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{a_d}} } \right]\), với \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d.\)

Ví dụ 9: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {2;1;3} \right)\), \(N\left( {1, – 2,1} \right)\) và song song với đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}

x = – 1 + t\\

y = 2t\\

z = – 3 – 2t

\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1; – 3; – 2} \right)\), \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 2} \right).\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}

M,N \in \left( \alpha \right)\\

d{\rm{//}}\left( \alpha \right)

\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{a_d}} } \right]\) \( = \left( {10; – 4;1} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)

\(M\left( {2;1;3} \right) \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(10\left( {x – 2} \right) – 4\left( {y – 1} \right)\) \( + 1\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 10x – 4y + z – 19 = 0.\)

• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(M,N\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) (\(MN\) không vuông góc với \((P)\)).

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\), với \(\overrightarrow {{n_P}} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)

Ví dụ 10: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M(0;1;2)\), \(N(2;0;1)\) và vuông góc với  \((P)\): \(2x + 3y – z + 1 = 0 \).

Ta có:  \(\overrightarrow {MN} = \left( {2; – 1; – 1} \right)\); \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;3; – 1} \right).\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}

M,N \in \left( \alpha \right)\\

\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)

\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) \( = \left( {4;0;8} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α).\)

\(M\left( {0;1;2} \right) \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(4\left( {x – 0} \right) + 0\left( {y – 1} \right)\) \( + 8\left( {z – 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4x + 8z – 16 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2z – 4 = 0.\)

Dạng toán 5: Mặt phẳng chứa một đường thẳng và các yếu tố khác.

• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(d\) và song song với \(d’.\)

Phương pháp:

+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} \) lần lượt là vector chỉ phương của đường thẳng \(d, d’.\)

+ Chọn \(M \in d \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).\)

Ví dụ 11: Trong không gian hệ toạ độ \(Oxyz\) cho hai đường thẳng: \(d:\) \(\left\{ \begin{array}{l}

x = 1 + 2t\\

y = – 3t\\

z = 4 + t

\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số) và \(d’:\) \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(d\) và song song với \(d’.\)

Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; – 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( {1;2; – 1} \right).\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}

d \subset \left( \alpha \right)\\

\left( \alpha \right){\rm{//}}d’

\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\) \( = \left( {1;3;7} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)

Chọn \(M\left( {1;0;4} \right) \in d\) \( \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 0} \right)\) \( + 7\left( {z – 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 3y + 7z – 29 = 0.\)

• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) (\(d\) không vuông góc với \((P)\)).

Phương pháp:

+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), \(\overrightarrow {{n_P}} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)

+ Chọn  \(M \in d \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).\)

Ví dụ 12: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(d:\) \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\) và vuông góc với \((P):\) \(-x + y + 2z – 1 = 0.\)

Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( { – 1;1;2} \right).\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}

d \subset \left( \alpha \right)\\

\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)

\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) \( = \left( {5; – 5;5} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α).\)

Chọn \(M\left( { – 1;1; – 1} \right) \in d\) \( \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(5(x+1) – 5(y-1)\) \( + 5 (z+1) = 0\) \( \Leftrightarrow x – y + z + 3 = 0.\)

Dạng toán 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha \right)\) của đoạn thẳng \(MN.\)

Phương pháp:

+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {MN} .\)

+ \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của \(MN.\)

Ví dụ 13: Viết phương trình mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha \right)\) của đoạn thẳng \(MN\), biết \(M(1;3;2)\), \(N(-1;1;0).\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\), khi đó \(I(0;2;1)\) và \(I \in \left( \alpha \right).\)

Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {MN} = \left( { – 2; – 2; – 2} \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(-2 (x-0) – 2(y-2) \) \(-2(z-1) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y + z – 3 = 0.\)

Dạng toán 7: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \((P)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R).\)

Phương pháp:

+ Từ \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( P \right)\), suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(Ax + By +Cz +D = 0\), trong đó hệ số \(D\) chưa biết.

+ Từ giả thiết \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\), từ đó tìm được hệ số \(D.\)

Ví dụ 14: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \((P):\) \(x – 2y + 2z +1 =0\) và tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2}\) \( + {\left( {z – {\rm{ }}2} \right)^2} = 4.\)

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-2;1;2)\), bán kính \(R = 2.\)

Vì \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( P \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(x – 2y +2z + D = 0.\)

\(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\) \(⇔ \frac{{\left| { – 2 – 2 + 4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( – 2)}^2} + {2^2}} }} = 2\) \( ⇔ \left| D \right| = 6\) \( ⇔D = 6\) hoặc \(D = -6.\)

Vậy có hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán: \(x – 2y + 2z + 6 = 0 \) và \(x – 2y + 2z  – 6 = 0.\)

Dạng toán 8: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) và tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R).\)

Phương pháp:

+ Vector chỉ phương của đường thẳng \(d\) cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó hệ số \(D\) chưa biết.

+ Từ giả thiết \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\), từ đó tìm được hệ số \(D.\)

Ví dụ 15: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S):\) \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2}\) \( – 2x + 2y + 4z – 3 = 0\) và vuông góc với đường thẳng \(d:\) \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{z}{{ – 2}}.\)

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1 ;-1 ;-2)\), bán kính \(R = 3.\)

Vì \(\left( \alpha \right) \bot d\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 2} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(x + 2y – 2z +D = 0.\)

Vì \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 – 2 + 4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 3\) \( \Leftrightarrow D = 6\) hoặc \(D = -12.\)

Vậy có hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thỏa mãn điều kiện bài toán là: \(x + 2y – 2z  + 6 = 0\) và \(x + 2y – 2z  – 12 = 0.\)

Dạng toán 9: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với đường thẳng \(d\), vuông góc với mặt phẳng \((P)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R).\) (\(d\) không vuông góc với \((P)\)).

Phương pháp:

+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), \(\overrightarrow {{n_P}} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)

+ Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó hệ số \(D\) chưa biết.

+ Từ giả thiết \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(I;R)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\), từ đó tìm được hệ số \(D.\)

Ví dụ 16: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với đường thẳng \(d:\) \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{z}{{ – 1}}\), vuông góc với mặt phẳng \((P):\) \(2x +y + z – 1 = 0\) và tiếp xúc với mặt cầu \((S):\) \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\) \( + {\rm{ }}{z^2} = 9.\)

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2; -1; 0)\), bán kính \(R = 3.\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1;1} \right)\), \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;3; – 1} \right).\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}

\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\

\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)

\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) \( = ( – {\rm{ }}4;3;5)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)

Do đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(-4x + 3y + 5z + D = 0.\)

Vì \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(I;R)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 8 – 3 + D} \right|}}{{\sqrt {{{( – 4)}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = 3\) \( \Leftrightarrow D = 11 + 15\sqrt 2 \) hoặc \(D = 11 – 15\sqrt 2 .\)

Vậy có hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \( – {\rm{ }}4x + 3y + 5z + 11 + 15\sqrt 2 = 0\) và \( – {\rm{ }}4x + 3y + 5z + 11 – 15\sqrt 2 = 0.\)

Dạng toán 10: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R).\)

Phương pháp:

+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} \) lần lượt là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), \(d’.\)

+ Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó hệ số \(D\) chưa biết.

+ Từ giả thiết mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(I;R)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\), từ đó tìm được hệ số \(D.\)

Ví dụ 17: Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):\) \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) \( – 2x + 2y + 4z – 3 = 0\) và hai đường thẳng \(d:\) \(\left\{ \begin{array}{l}

x + 2y – 2 = 0\\

x – 2z = 0

\end{array} \right.\) và \(d’:\) \(\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ – 1}}.\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là tiếp diện của \((S)\) đồng thời song song với \(d\) và \(d’.\)

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;-1;-2)\), bán kính \(R = 3.\)

Đường thẳng \(d\) là giao của hai mặt phẳng \((P):\) \(x + 2y -2 =0\) và \((Q):\) \(x – 2z= 0\), suy ra vector chỉ phương của \(d\) là: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { – 4;2; – 2} \right).\)

Vector chỉ phương của \(d’\) là \(\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( { – 1;1; – 1} \right).\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}

\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\

\left( \alpha \right){\rm{//}}d’

\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\) \( = \left( {0; – 2; – 2} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(- 2y – 2z + D = 0.\)

Vì \(\left( \alpha \right)\) là tiếp diện của \((S)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + 4 + D} \right|}}{{\sqrt 8 }} = 3\) \( \Leftrightarrow D = – 6 + 6\sqrt 2 \) hoặc \(D = – 6 – 6\sqrt 2 .\)

Vậy có hai tiếp diện thỏa mãn bài toán là: \(y + {\rm{ }}z + 3 – 3\sqrt 2 = 0\) và \(y + {\rm{ }}z + 3 + 3\sqrt 2 = 0.\)