đề chọn đội tuyển thi hsg toán quốc gia 2020 – 2021 trường chuyên bến tre (lần 2)

Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia 2020 – 2021 trường chuyên Bến Tre (lần 2) gồm 01 trang với 07 bài toán dạng tự luận, thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề).

Trích dẫn đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia 2020 – 2021 trường chuyên Bến Tre (lần 2):

+ Trên mặt phẳng cho tập hợp A gồm 66 điểm phân biệt và tập hợp B gồm 16 đường thẳng phân biệt. Gọi m là số bộ (a;b) sao cho a thuộc A và b thuộc B. Chứng minh rằng m =< 159.

+ Cho hình đa giác đều 9 cạnh. Mỗi đỉnh của nó được tô bằng một trong hai màu trắng hoặc đen. Có tồn tại hay không hai tam giác phân biệt có diện tích bằng nhau, mà các đỉnh của mỗi tam giác được tô cùng một màu? Chứng minh khẳng định đó.

+ Cho hàm số f: R → R thỏa mãn f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x) với mọi x, y thuộc R.

a) Chứng minh rằng nếu có x thuộc R; y thuộc R sao cho f(x) = f(y) khác 0 thì x = y.

b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đề bài.