Bài 9. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 9. Tính chất ba đường phân giác của tam giác - SGK Toán 7 - Chân trời sáng tạo

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với điểm trên cạnh đối diện sao cho chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của góc.

I. Định nghĩa đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với điểm trên cạnh đối diện sao cho chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của đỉnh đó.

II. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này được gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Tâm đường tròn nội tiếp là tâm của đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.

III. Chứng minh tính chất ba đường phân giác đồng quy

Để chứng minh tính chất này, ta sử dụng định lý về giao điểm của hai đường phân giác. Giả sử tam giác ABC có hai đường phân giác AD và BE cắt nhau tại I. Theo định lý, I là giao điểm của ba đường phân giác, do đó đường phân giác CF cũng đi qua I.

IV. Ứng dụng của tính chất ba đường phân giác

Tính chất ba đường phân giác đồng quy có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học. Ví dụ, ta có thể sử dụng tính chất này để chứng minh một điểm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác, hoặc để tính độ dài các đoạn thẳng liên quan đến đường phân giác.

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác. Tính độ dài đoạn thẳng AI.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

• BD/DC = AB/AC = 5/8
• AE/EC = AB/BC = 5/7

Từ đó, ta có thể tính được độ dài các đoạn thẳng BD, DC, AE, EC và sử dụng định lý Menelaus để tính độ dài AI.

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác. Chứng minh rằng AI là đường trung tuyến của BC.

Giải:

Vì tam giác ABC cân tại A, đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến của BC. Do đó, D là trung điểm của BC. Vì I là giao điểm của ba đường phân giác, nên I nằm trên AD. Vậy AI là đường trung tuyến của BC.

V. Bài tập luyện tập

1. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia BC thành hai đoạn BD = 3cm, DC = 5cm. Tính AB và AC.
2. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác. Tính khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác.
3. Chứng minh rằng trong một tam giác đều, tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về tính chất ba đường phân giác của tam giác. Chúc các em học tốt!