Bài 5. Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

Chào mừng các em học sinh đến với bài học số 5 trong chương trình Vở thực hành Toán 7 Tập 1, Chương II: Số thực. Bài học hôm nay sẽ giới thiệu về một khái niệm quan trọng trong toán học, đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Đây là một loại số thập phân đặc biệt, có ý nghĩa lớn trong việc biểu diễn các số hữu tỉ.

1. Số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì?

Trước khi đi sâu vào số thập phân vô hạn tuần hoàn, chúng ta cần nhắc lại khái niệm về số thập phân. Một số thập phân là một số được biểu diễn bằng một phần nguyên và một phần thập phân, được phân tách bởi dấu phẩy. Phần thập phân có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

Số thập phân hữu hạn là số thập phân có phần thập phân kết thúc sau một số hữu hạn chữ số. Ví dụ: 3,14; 2,5; 0,123.

Số thập phân vô hạn không tuần hoàn là số thập phân có phần thập phân kéo dài vô hạn và không lặp lại một chuỗi chữ số nào. Ví dụ: π (pi) = 3,1415926535...; √2 = 1,4142135623...

Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số thập phân có phần thập phân kéo dài vô hạn và lặp lại một chuỗi chữ số nào đó. Chuỗi chữ số lặp lại này được gọi là chu kỳ của số thập phân. Ví dụ: 0,333... (chu kỳ là 3); 1,2(3) (chu kỳ là 3); 2,142857142857... (chu kỳ là 142857).

2. Cách nhận biết số thập phân vô hạn tuần hoàn

Để nhận biết một số thập phân vô hạn tuần hoàn, chúng ta cần quan sát phần thập phân của nó. Nếu phần thập phân kéo dài vô hạn và lặp lại một chuỗi chữ số nào đó, thì đó là một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ:

• 0,111... là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 1.
• 1,232323... là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 23.
• 3,14159265358979323846... (chu kỳ là 265358979323846)

3. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn

Có hai cách chính để biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn:

1. Sử dụng dấu gạch ngang trên chu kỳ: Ví dụ: 0,333... được viết là 0,3. 1,2(3) được viết là 1,2333...
2. Sử dụng dấu ba chấm: Ví dụ: 0,333...; 1,232323...

4. Chuyển đổi giữa phân số và số thập phân vô hạn tuần hoàn

Một trong những ứng dụng quan trọng của số thập phân vô hạn tuần hoàn là chuyển đổi giữa phân số và số thập phân. Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn, và ngược lại.

a. Chuyển phân số thành số thập phân:

Để chuyển một phân số thành số thập phân, ta thực hiện phép chia tử số cho mẫu số. Nếu phép chia kết thúc, ta được một số thập phân hữu hạn. Nếu phép chia không kết thúc và lặp lại một chuỗi chữ số nào đó, ta được một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ:

b. Chuyển số thập phân thành phân số:

Để chuyển một số thập phân hữu hạn thành phân số, ta viết số thập phân dưới dạng phân số có mẫu số là lũy thừa của 10. Ví dụ: 0,5 = 5/10 = 1/2; 0,25 = 25/100 = 1/4.

Để chuyển một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số, ta sử dụng một công thức đặc biệt. Ví dụ, nếu x = 0,333..., thì 10x = 3,333... Trừ hai phương trình, ta được 9x = 3, suy ra x = 3/9 = 1/3.

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về số thập phân vô hạn tuần hoàn, các em hãy làm các bài tập sau:

• Bài 1: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân: 1/4, 2/3, 5/6.
• Bài 2: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số: 0,25, 0,6, 0,1(3).
• Bài 3: Giải thích tại sao 1/9 = 0,111...

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về số thập phân vô hạn tuần hoàn. Chúc các em học tập tốt!