Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng - SGK Toán 7 - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Nói cách khác, nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì đường thẳng d vuông góc với AB tại M được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng CD có trung điểm I. Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với CD là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

2. Tính chất của đường trung trực

Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, nếu một điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Chứng minh:

1. Chiều thuận: Cho điểm M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB. Gọi I là giao điểm của d và AB. Theo định nghĩa, MI vuông góc với AB tại I. Xét hai tam giác vuông AMI và BMI, ta có:
• AI = BI (I là trung điểm của AB)
• MI là cạnh chung
• ∠AMI = ∠BMI = 90°
2. Do đó, ΔAMI = ΔBMI (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông). Suy ra AM = BM. Vậy M cách đều hai mút A và B của đoạn thẳng AB.
3. Chiều nghịch: Cho điểm M cách đều hai mút A và B của đoạn thẳng AB (AM = BM). Xét hai tam giác ABM, ta có:
• AM = BM
• AB là cạnh chung
4. Suy ra ΔABM cân tại M. Do đó, đường trung tuyến MI (với I là trung điểm của AB) đồng thời là đường cao. Vậy MI vuông góc với AB tại I. Do đó, M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

3. Ứng dụng của đường trung trực

Đường trung trực có nhiều ứng dụng trong hình học, đặc biệt là trong việc xác định vị trí của các điểm và giải các bài toán liên quan đến tam giác cân.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là đường trung trực của BC.

Giải:

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC. M là trung điểm của BC, suy ra BM = MC. Xét hai tam giác ABM và ACM, ta có:

• AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
• BM = MC (M là trung điểm của BC)
• AM là cạnh chung

Do đó, ΔABM = ΔACM (cạnh - cạnh - cạnh). Suy ra ∠AMB = ∠AMC. Mà ∠AMB + ∠AMC = 180° (kề bù), nên ∠AMB = ∠AMC = 90°. Vậy AM vuông góc với BC tại M. Do đó, AM là đường trung trực của BC.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB dài 6cm. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB. Lấy điểm M nằm trên d. Tính độ dài AM và BM.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh MA = MB = MC.

5. Kết luận

Bài học về đường trung trực của một đoạn thẳng cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản và quan trọng trong hình học. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của đường trung trực sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng - SGK Toán 7 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!